实数的完备性
确界原理、单调收敛、Bolzano–Weierstrass 定理和 Cauchy 完备性彼此等价，共同保证实数轴没有缺口。
REAL ANALYSIS · RIGOR & INFINITY
实分析
实分析把微积分中的直觉转化为严格证明，研究实数完备性、极限、连续、函数列、测度与积分，是现代分析的逻辑地基。
点态与一致收敛
函数列逐点收敛并不足以保存连续、积分或微分；一致收敛提供更强控制，是交换极限操作的关键条件。
测度与可测函数
σ-代数规定可讨论的集合，测度统一长度、面积与概率；“几乎处处”让分析能够忽略零测集上的异常。
Lebesgue 积分
从函数值域而非定义域切分函数，使更多极限可以安全进入积分号。单调收敛与控制收敛定理是现代概率论的基础。